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Archive for the ‘Matematica’ Category

Sito per la risoluzione di equazioni

Posted by hosiris su dicembre 22, 2010

Saltellando da sito in sito mi sono imbattuto in una simpaticissima applicazione: Wolfram Alpha.

una volta inserita l’equazione, clicchiamo su “=” e…

Bello no? Se solo lo avessi conosciuto al Liceo… ed ad analisi???
Vi lascio con questa bella equazioncina:

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Geometrie non euclidee: La sistemazione hilbertiana della geometria

Posted by hosiris su ottobre 6, 2010

Abbiamo visto come le “geometrie non euclide” abbiamo faticato ad affermarsi fin quando, grazie al lavoro di Saccheri, non si è cambiata la concezione secondo le verità matematiche dovevano essere non contraddittorie.

In allegato troverete un PDF con il riassunto delle puntate precedenti e la trattazione, seguita da Hilbert, per creare un nuovo sistema assiomatico per la geometria euclidea.

DOWNLOAD PDF

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Geometrie non euclidee: Lobacevskij, Bolyai e la diffusione delle nuove teorie

Posted by hosiris su settembre 22, 2010

Tra la fine del XVIII e l’inizio del XIX secolo si era giunti alla convinzione che il V postulato fosse indispensabile per la fondazione della geometria: infatti, si erano descritte molte proposizione che dipendevano proprio dal postulato ed in alcuni casi risultavano ad esso equivalenti. Ricordiamo, inoltre, che furono sprecate molte energie nel tentativo di dimostrarlo. Fu così che cominciò a presentarsi l’idea che esso fosse veramente indimostrabile.
Faremo adesso un breve excursus che ci presenterà il lavoro di alcuni matematici che, proseguendo gli studi di Saccheri, Lambert e Legendre, apportarono nuovi contributi alla teoria delle parallele.
Nle 1807, Ferdinand Karl Schweikart si dedicò a ricerche sulla teoria delle parallele. Egli fu pienamente consapevole della possibilità logica di una nuova geometria, che chiamò astrale, dalla quale, come caso limite, si giunge alla geometria euclidea.
Un nipote di Schweikart, Taurinus, sviluppò le conseguenze dell’ipotesi dell’angolo acuto, fino ad ottenere le formule principali della trigonometria non euclidea. Taurinus ebbe quindi il merito di riconoscere apertamente la possibilità logica di una nuova geometria, detta logaritmico-sferica e anche della geometria relativa all’ipotesi dell’angolo ottuso. La geometria euclidea si situa così in una posizione intermedia tra la geometria ellittica e la geometria iperbolica.
Fu Gauss il primo grande matematico a riconoscere chiaramente la possibilità della nuova geometria, ma comunque non pubblicò mai nulla su questo argomento. Dalla sua corrispondenza con altri matematici è possibile, però, ricostruire le sue ricerche.
Senza scorrere tutti gli scritti di Gauss, richiamo un solo passo in cui esprime il suo interesse verso le nuove teorie:

”Sono stato indotto di recente a rivedere l’opuscolo di Lobacevskij […]. Contiene i fondamenti di quella geometria che dovrebbe, e a rigore potrebbe, aver luogo se la geometria euclidea non fosse la vera. Un certo Schweikart la chiamò geometria astrale. Lobacevskij geometria immaginaria. Lei sa che già da 54 anni ho le stesse convinzioni. Materialmente non ho trovato nulla di nuovo nell’opera di Lobacevskij, ma lo sviluppo è fatto per una via diversa da quella che ho seguito io […]”

Lobacevskij pubblicò nel 1829 delle memorie in cui mostrava i risultati riguardanti la nuova geometria. A questo successero numerosi scritti in cui il matematico non si limitò ad affrontare la questione delle parallele, ma rivolse i suoi sforzi alla rifondazione globale della geometria.
Nei suoi lavori assume come concetti primitivi della sua geometria quelli di ”corpo”, di ”contatto tra corpi” e di ”movimento rigido”, ricavando le proposizioni primitive della teoria da osservazioni di carattere sperimentale sul comportamento dei corpi fisici. Solo in un secondo momento introduce i concetti di retta e di piano e dimostra per essi le proprietà geometriche che si possono ricavare senza l’uso del V postulato euclideo. In questo modo sviluppa quella che sarà chiamata la geometria assoluta, ottenendo risultati interessanti, come ad esempio l’aver dimostrato l’assoluta indipendenza della geometria sferica dal V postulato e la dimostrazione dell’esistenza dei cinque poliedri regolari ottenuta senza ricorso a considerazioni sulle rette parallele. Successivamente, introduce una nuova nozione di rette parallele e procede nello sviluppo della geometria immaginaria. Gli argomenti più interessanti a cui si rivolge sono:

  1. esposizione organica della trigonometria non euclidea;
  2. introduzione e studio di nuove figure: l’oriciclo e l’orisfera
  3. la dimostrazione del fatto che sull’orisfera, sotto opportune ipotesi, vale la geometria euclidea
  4. la dimostrazione che in zone di spazio sufficientemente piccole, la geometria immaginaria coincide con la geometria euclidea
  5. l’osservazione che se, nelle formule della trigonometria non euclidea piana, sostiuiamo ai lati a, b e c di un triangolo i lati immaginari si ottengono le formule dell’ordinaria trigonometria sferica
  6. lo sviluppo di una geometria analitica corrispondente alla nuova geometria

Insieme Lobacevskij tra i fondatori delle geometrie non euclidee viene annoverato J’anos Bolyai. Bolyai si applicò nella direzione della geometria assoluta, giungendo alla importante formula dell’angolo di parallelismo.

Le opere di Lobacevskij e Bolyai non ebbero immediata risonanza nel mondo matematico del tempo.
Bisogna stare attenti a non cadere nell’errore di considerare la geometria iperbolica come l’unica alternativa, infatti un altro sistema ben distinto dai precedenti si può ottenere in corrispondenza dell’ipotesi dell’angolo ottuso.
La possibilità logica di questo nuovo sistema geometrico non deriva immediatamente dalle considerazioni precedenti; anzi, abbiamo visto che già Sacheri era riuscito a confutare correttamente l’ipotesi dell’angolo ottuso e che lésistenza di rette parallele è dimostrabile senza l’uso del V postulato. Comunque variando alcune ipotesi si riesce a costruire un sistema coerente che corrisponde all’ipotesi di Saccheri. La scoperta di questo nuovo sistema si può attribuire al matematico tedesco Riemann.
Le ricerche di Riemann proseguo gli studi che Gauss aveva intrapreso relativamente alla geometria delle superfici dello spazio euclideo, i quali avevano segnato l’inizio di una nuova branca della geometria, detta geometria differenziale. Ricordiamo che Gauss si prefisse lo studio di quelle proprietà geometriche delle superfici che si possono chiamare intrinseche, in quanto dipendono solo dal tipo di superficie considerato e non dallo spazio in cui sono immerse. Dimostrò che, data una superficie qualsiasi, purché sufficientemente regolare, è possibile introdurre su di essa un sistema di coordinate, mediante le quali si possono determinare le equazioni delle figure contenute sulla superficie stessa. Dimostrò inoltre che era possibile esterndere il concetto di retta a una qualsiasi superficie (concetto di geodetica).
Dopo la pubblicazione delle epistole di Gauss, l’interesse per questi nuovi argomenti cominciò ad estendersi. Nel 1866 Eugenio Beltrami presentò quello che fu definito il primo modello della geometria iperbolica. Egli considerò una superficie a curvatura costante negativa, deta pseudsfera. Questa si ottiene facendo ruotare nello spazio una curva detta trattrice.

Tale superficie ha curvatura costante negativa pari a -1/k^2. La sua geometria intrinseca coincide con la geometria iperbolica.

Nel 1867 Riemann pubblicò una dissertazione dal titolo Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria in cui l’autore estende il concetto di curvatura allo spazio. Lo sviluppo delle idee di Riemann tende a determinare la struttura della spazio fisico. Supponiamo che i punti dello spazio siano individuati da tre coordinate Ammesso il principio di additività delle lunghezze, la distanza tra due punti su una linea sarà determinata quano si sappia valutare la distanza ds tra due suoi punti infinitamente vicini e Riemann fa l’ipotesi che $ds$ sia la radice quadrata in una forma di secondo grado omogenea dei dx_i:

Ammesso il principio della sovrapponibilità delle figure, con un opportuno mutamento del sistema di coordinate si riesce a mettere il ds^2 in una forma diversa, nella quale interviene una costante k, detta da Riemann curvatura dello spazio, che può essere positiva, nulla negativa. Se adesso ammettiamo che il principio di sovrapponibilità sia valido nell’intero spazio e che una retta sia determinata da due punti, si dimostra che solo tre situazioni sono compatibili con le ipotesi di partenza, cioè tre possibili geometrie: se k > 0 si ha la geometria ellittica, se k = 0 si ha la geometria euclidea ed infine, se k < 0 si ha la geometria iperbolica.
Con questo lavoro Riemann ha voluto distinguere la teoria generale delle grandezze a n dimensioni dalla teoria dello spazio tridimensionale, mostrando che questo è solo un caso particolare di quella.

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Geometrie non euclidee: L’opera di Legendre

Posted by hosiris su settembre 18, 2010

Tra le ricerche successive a quelle di Saccheri, meritano di essere ricordate quelle di J.H. Lambert. Questi basò i suoi studi su una figura lievemente diversa da quella di Saccheri: il quadrilatero trirettangolo isoscele, che presenta tre angoli retti e due coppie di lati uguali. Pose le tre ipotesi per il quarto angolo e confutò l’ipotesi dell’angolo ottuso e tentò di confutare quella dell’angolo acuto ma, a differenza di Saccheri, fu perfettamente consapevole della debolezza delle sue argomentazioni. Comunque l’importanza del suo lavoro risiede nella dimostrazione del fatto che, nell’ipotesi dell’angolo acuto, esiste una unità di misura naturale per i segmenti. E’ noto che la scelta dell’unità di misura per i segmenti è arbitraria in geometria euclidea, mentre per gli angoli è possibile fissare una unità di misura. Lambert mostrò che si possono stabilire dei legami tra i segmenti e gli angoli in modo che risulta possibile trasferire la misura naturale degli angoli anche ai segmenti.
Questo stesso risultato fu raggiunto da A. Legendre. Nel suo lavoro non presentò novità riguardo gli studi sul V postulato, ma presentò una serie di proposizioni, dimostrate, indipendenti dal V postulato.
Proposizione I
La somma degli angoli di un triangolo è sempre minore o uguale a due retti
Proposizione II
Se la somma S degli angoli di un solo triangolo è uguale a due retti, è due retti la somma degli angoli di un qualunque trinagolo
Proposizione III
Se $S = 2R$ in ogni triangolo, allora vale il V postulato

Nel 1823 Legendre pensò di aver dimostrato il V postulato attraverso i seguenti ragionamenti:
Definizione: Si dice difetto angolare di un triangolo ABC di angoli a, b e c, l’angolo d = 2R – (a + b + c).
Per la proposizione I si ha d > 0. Se si dimostra che per un solo triangolo d = 0, dalle proposizioni II e III segue il V postulato.
Definizione: Se il triangolo ABC di difetto d è suddiviso in due triangoli mediante una trasversale, la somma dei difetti d_1 e d_2 dei due triangoli ottenuti è uguale a d.
Questa proprietà si può facilmente generalizzare: se un triangolo è suddiviso in più triangoli, il suo difetto angolare è uguale alla somma dei difetti angolari dei triangolari in cui è suddiviso.
Supponiamo di avere un triangolo ABC con d > 0. Sia BCD il triangolo simmetrico di ABC rispetto a BC. Dal vertice D tracciamo una retta r che incontri in E ed in F i prolungamenti dei lati AB e AC rispettivamente.

Il triangolo AEF ha difetto d_1 uguale alla somma dei difetti dei triangoli in cui è suddiviso. Quindi d_1 < 2d.
Analogamente consideriamo il triangolo EFG simmetrico di AEF rispetto EF e tracciamo per il suo vertice G una retta s che incontri i prolungamenti di AB e AC in H e K. Il triangolo AHK ha difetto angolare d_2 tale che d_2 < 2d_1 < 4d. Proseguendo in questo senso, dopo n passaggi avremo un triangolo con difetto angolare d_n < 2^n d. Ma allora, per n sufficientemente grande, per il postulato di Archimede, si ricava che d_n 0, quindi d = 0 e vale il V postulato.
Nonostante sembri tutto lecito, anche questa dimostrazione presenta un difetto di forma. Precisamente, l’assunzione che per un punto interno ad un triangolo è sempre possibile tracciare una retta che intersechi i due lati dell’angolo.
Poiché dal V postulato si dimostra la precedente proposizione, si ha l’equivalenza tra le proposizioni.
Tutti i successivi tentativi di dimostrazione non hanno fatto altro che produrre una serie di proposizioni equivalenti. Ma si sono gettate le basi per nuove teorie. Dovrà passare quasi un secolo perchè si accettasse che oltre alla geometria euclidea ne esistessero altre.

PS: devo trovare un modo per rendere più leggibili le formule, comunque sto producendo un PDF in cui i formalismi sono migliori

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Geometrie non euclidee: Il lavoro di Saccheri

Posted by hosiris su settembre 13, 2010

Nel corso della storia i tentativi di dimostrare il V postulato furono molteplici, ma solo con Girolamo Saccheri si raggiunge un punto di svolta. Tra i lavori del gesuita, ricordiamo l’introduzione di un nuovo tipo di dimostrazione, detta “conseguentia mirabilis”, in cui se si riesce a dimostrare che dalla negazione di A segue A, allora vale A. Questa idea risulta interessante perchè per la prima volta si adombra la tesi secondo cui la verità matematica coincide con la non contraddittorietà.
L’opera in cui Saccheri tenta di dimostrare il V postulato è intitolata Euclides ad omni naevo vindicatus, sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae geometriae principia. Il quinto postulato è trattato nel primo libro, Saccheri parte dalla considerazione di un quadrilatero birettangolo isoscele:

Nella prima parte dell’opera vengono dimostrate alcune proprietà:

  1. Gli angoli in C e D sono uguali
  2. La congiungente i punti medi M e N di AB e CD è perpendicolare a entrambi
  3. Il lato CD è maggiore, uguale o minore di AB, a seconda che gli angoli in C e D siano acuti, retti od ottusi
  4. Se CD è maggiore, uguale o minore di AB, gli angoli in C e D sono rispettivamente acuti, retti o ottusi
  5. In un quadrilatero trirettangolo se il quarto angolo è acuto, si ha che CD > AB e CA > DB, se è retto CD = AB e CA = DB, infine se è ottuso CD < AB e CA < DB.
  6. Se in un quadrilatero birettangolo isoscele gli angoli in C e D sono acuti, retti o ottusi, lo stesso avviene in ogni altro quadrilatero birettangolo isoscele
  7. La somma degli angoli di un triangolo è maggiore, uguale o minore di due retti a seconda che valga rispettivamente l’ipotesi di un angolo ottuso, dell’angolo retto o dell’angolo acuto
  8. Se in un solo triangolo la somma degli angoli è maggiore, uguale o minore di due retti, lo stesso avviene in ogni triangolo
  9. Se in un triangolo rettangolo ABC, M è il punto medio dell’ipotenusa AC e H è il piede della perpendicolare abbassata da M su AB, allora AH risulta minore, uguale o maggiore di HB a seconda che valga l’ipotesi dell’angolo ottuso, retto o acuto.
  10. Date due rette incidenti, considerando su una di esser dei segmenti consecutivi uguali, le loro proiezioni sull’altra retta risultano crescenti, costanti o decrescenti a seconda che valga l’ipotesi dell’angolo ottuso, retto o acuto
  11. Nell’ipotesi dell’angolo ottuso e dell’angolo retto una perpendicolare e un’obliqua a una retta si incontrano

A seguito di quest’ultima proprietà vediamo che il postulato dell’obliqua è valido, quindi Saccheri può affermare:
Proposizione XIV
L’ipotesi dell’angolo ottuso è completamente falsa perchè distrugge se stessa
Infatti, nell’ipotesi dell’angolo ottuso vale il postulato dell’obliqua e, quindi, anche il V postulato che è ad esso equivalente, ma questo implica che la somma degli angoli interni di ogni triangolo sia due retti, mentre, per la stessa ipotesi dovrebbe essere maggiore di due retti.
Successivamente Saccheri procede nel tentativo di ricavare una contraddizione dall’ipotesi dell’angolo acuto, ma il compito risulta più arduo di quanto si aspettasse.
A seguito di un lungo lavoro, Saccheri riesce ad enunciare:
Proposizione XXXVIII
L’ipotesi dell’angolo acuto è assolutamente falsa, perchè distrugge se stessa
In realtà questo secondo enunciato risulta viziato da un errore, in quanto non è lecito estrapolare proprietà valide a livello infinitesimale nel mondo finito. Quindi di fatto l’enunciato non risulta valido.
L’importanza dell’opera di Saccheri non risiede però nel suo tentativo di voler dimostrare la veridicità del V postulato, bensì nel fatto che durante il suo lavoro ha dimostrato vari teoremi che hanno avuto eco negli anni successivi. I più interessanti risultano essere proprio quelli relativi all’ipotesi dell’angolo acuto, che risultano essere veri e proprio teoremi di geometria non euclidea. Quindi proprio nel tentativi di valorizzarla, Saccheri pose le basi per quella che sarà chiamata “geometria iperbolica“.

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Geometrie non euclidee: il caso del V postulato

Posted by hosiris su settembre 10, 2010

Nello scorso post ho introdotto l’opera di Euclide, soffermandomi sui postulati da lui esposti che servivano a costruire una solida base di evidenze.
Il fatto che il V postulato perdesse questo carattere di “evidenza” pone dei dubbi sula validità di tutti i teoremi che da esso derivano.
Supponiamo di avere due rette r ed s, tagliate dalla trasversale t, e supponiamo che la somma degli angoli che le rette formano con questa trasversale siano minori di due retti. Risulta evidente che le rette r ed s si incontrano in un punto P:

Supponiamo ora di ruotare la retta s attorno al punto B. E’ evidente che il punto P si allontanerà dal punto A fin quando non scomparirà dalla “zona osservabile”. Secondo il postulato, quando la somma degli angoli sarà pari a due retti allora le rette saranno parallele, ma quando è avvenuto il distacco tra le due rette? Sia r che s sono infinite…
Il diverso grado di evidenza del V postulato può essere rilevato in maniera più convincente se si fa riferimento ad un’altra sua formulazione: dati, in un piano, una retta ed un punto fuori di essa, esiste, nel piano, al più una retta passante per il punto e parallela alla retta data.
E’ facile capire che questo risulta falso in un universo di dimensioni finite:

Come è possibile osservare dall’immagine data una retta r ed un punto P esterno ad essa limitati nella zona interna di un cerchio, risulta immediato che per P passano molte rette che non intersecano r.
Aumentando il raggio del cerchio, sicuramente il numero di rette intersecanti r diminuirà, ma chi ci assicura che questa situazione cessi di sussistere in un piano illimitato?
Queste due argomentazioni hanno lo scopo di far vedere come è lecito l’insorgere di dubbi riguardanti l’evidenza del postulato. Nonostante tutto, però, non è possibile dimostrarne la sua inesattezza.
Nel secondo esempio abbiamo fatto uso di una formulazione “equivalente” del postulato. Senza scendere nello specifico del concetto di equivalenza, vale la pena mostrare che sia effettivamente vero (operazione che ci permetterà di capire le ipotesi fatte negli anni a venire).

Teorema di Unicità della parallela
Dati una retta e un punto esterno ad essa, per il punto passa al più una retta parallela alla retta data

Dimostriamo che dal V postulato segue l’unicità della parallela:
Data la figura seguente, siano r una retta e P un punto esterno ad essa. Sia PQ una trasversale qualsiasi e a l’angolo che essa forma con r. Delle rette passanti per P al più una può formare con PQ un angolo c tale che a + c = 2 retti. Tutte le altre, per il V postulato, incontreranno r, per cui per P passa al più una retta parallela ad r.

Dimostriamo che dall’unicità della parallela segue il V postulato:
Siano r ed s due rette che, tagliate dalla trasversale t, formino due angoli a e b tali che a + b < 2 retti. Sia PR la retta per P che forma con PQ un angolo c tale che a + c = 2 retti. PR risulta distante da s, poichè c > b, e risulta parallela a r per la proposizione 28. Dall’unicità della parallela segue che s non può essere parallela a r e che di consegnuenza incontra r come richiesto dal V postulato.
Da questa equivalenza segue che si può sostituire il V postulato con la proposizione che ne afferma l’unicità.

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Geometrie non euclidee: ovvero come le parallele hanno cambiato la matematica

Posted by hosiris su settembre 2, 2010

C’è una frase famosissima che recita: “Chi sà fà, chi non sà parla e chi sa poco scrive”. Ahimè mi sono accorto di appartenere all’ultimo gruppo e ancor peggio che mi sto dirigendo verso il secondo gruppo! Un giorno preso dallo sconforto ho deciso che dovevo fare in modo di riprendere tutte quelle conoscenze che silenziosamente stavano abbandonando i luoghi in cui, con tanta difficoltà, li ho ben sistemati.
Ma da cosa iniziamo? E’ talmente tanto materiale che rischierei di essere pesante ed inutile. Allora perchè non rendervi partecipe dei miei stupori? Ed infatti, a partire da questo post scriverò di quegli argomenti che hanno stimolato la mia curiosità facendomi amare sempre di più il mondo scientifico.
Come è possibile leggere dal titolo comincerò a parlare delle geometrie non euclidee. Perchè questo argomento? Ero al liceo quando il professore di matematica ci introdusse l’argomento, immaginate lo stupore di un ragazzetto, che per 17 anni ha conosciuto solo determinati concetti, che gli sono da sempre stati imposti come veri, nello scoprire che un semplice dubbio è stato sufficiente a smuovere le masse.
Da quel giorno decisi che niente nella mia vita doveva essere scontato, anche il semplice doversi svegliare la mattina doveva avere un significato…
Ma cominciamo subito.

La geometria, rispetto al resto della matematica, ha sempre avuto un vantaggio: è possibile visualizzarla (certo, salendo di livello diventa più difficile, ma noi ci limiteremo al mondo “osservabile”).
Alle elementari ci hanno dato dei concetti di base: il punto, la retta, il piano, … noi annoiati abbiamo imparato a memoria formule su formule, senza capire niente e magari odiando quella materia.
Certo un ragazzetto non può capire l’enorme lavoro che sta dietro quelle formulette, ma un adulto si. Nello specifico parliamo del lavoro di un uomo: Euclide. Questo tizio si è preso l’onere di formalizzare tutte quelle teorie che facevano parte della geometria. Essì già esisteva, già gli antichi egizi facevano uso della geometria per tenere traccia delle dimensioni dei terreni dopo gli straripamenti del Nilo.
Nel suo enorme lavoro Euclide scrisse un’opera, Gli Elementi, composta da 13 libri in cui definì e dimostrò ogni concetto alla base della geometria che noi conosciamo. Nel corso del I libro, il più importante e corposo, definisce 23 termini, 5 postulati e 5 nozioni comuni. Esempio di termini sono il concetto di punto (ciò che non ha parte) o di retta (lunghezza senza larghezza). Tra i postulati troviamo quelle verità immediate, che non necessità di dimostrazione perchè davanti gli occhi di tutti:

  • Si ammette di poter condurre da qualsiasi punto ad ogni altro punto una linea retta
  • e che ogni retta terminata si possa prolungare continuamente per dritto
  • e che con ogni centro e con ogni distanza si possa descrivere un circolo
  • e che tutti gli angoli retti siano uguali tra di loro
  • e che se una retta, incontrandone altri due, forma angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette prolungate continuamente si incontrano dalla parte in cui sono gli angoli minori di due retti

L’intento di Euclide era di creare un solido fondamento a tutta la trattazione che sarebbe seguita.
Purtroppo tutta la solidità era minata da una piccolissima leggerezza di riflessione: l’infinito. Purtroppo a noi umani non è dato conoscere quello che c’è oltre il finito, quindi ciò che accade all’infinito manca di evidenza.
Lo stesso Euclide era consapevole di questo problema e a lungo cercò di superarlo, ma senza successo.
Percorreremo insieme un susseguirsi di avvenimenti che, diversamente da come potrebbe sembrare, non distrugge tutte le teorie, ma ne crea di parallele ognuno con un grado di certezza.
Vedremo come il “caso del V postulato” accese gli animi di molti matematici che nel tentativo di “renderlo evidente” si trovarono a dare le basi a concetti che avrebbero rivoluzionato fisica e matematica.

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