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Geometrie non euclidee: Lobacevskij, Bolyai e la diffusione delle nuove teorie

Posted by hosiris su settembre 22, 2010

Tra la fine del XVIII e l’inizio del XIX secolo si era giunti alla convinzione che il V postulato fosse indispensabile per la fondazione della geometria: infatti, si erano descritte molte proposizione che dipendevano proprio dal postulato ed in alcuni casi risultavano ad esso equivalenti. Ricordiamo, inoltre, che furono sprecate molte energie nel tentativo di dimostrarlo. Fu così che cominciò a presentarsi l’idea che esso fosse veramente indimostrabile.
Faremo adesso un breve excursus che ci presenterà il lavoro di alcuni matematici che, proseguendo gli studi di Saccheri, Lambert e Legendre, apportarono nuovi contributi alla teoria delle parallele.
Nle 1807, Ferdinand Karl Schweikart si dedicò a ricerche sulla teoria delle parallele. Egli fu pienamente consapevole della possibilità logica di una nuova geometria, che chiamò astrale, dalla quale, come caso limite, si giunge alla geometria euclidea.
Un nipote di Schweikart, Taurinus, sviluppò le conseguenze dell’ipotesi dell’angolo acuto, fino ad ottenere le formule principali della trigonometria non euclidea. Taurinus ebbe quindi il merito di riconoscere apertamente la possibilità logica di una nuova geometria, detta logaritmico-sferica e anche della geometria relativa all’ipotesi dell’angolo ottuso. La geometria euclidea si situa così in una posizione intermedia tra la geometria ellittica e la geometria iperbolica.
Fu Gauss il primo grande matematico a riconoscere chiaramente la possibilità della nuova geometria, ma comunque non pubblicò mai nulla su questo argomento. Dalla sua corrispondenza con altri matematici è possibile, però, ricostruire le sue ricerche.
Senza scorrere tutti gli scritti di Gauss, richiamo un solo passo in cui esprime il suo interesse verso le nuove teorie:

”Sono stato indotto di recente a rivedere l’opuscolo di Lobacevskij […]. Contiene i fondamenti di quella geometria che dovrebbe, e a rigore potrebbe, aver luogo se la geometria euclidea non fosse la vera. Un certo Schweikart la chiamò geometria astrale. Lobacevskij geometria immaginaria. Lei sa che già da 54 anni ho le stesse convinzioni. Materialmente non ho trovato nulla di nuovo nell’opera di Lobacevskij, ma lo sviluppo è fatto per una via diversa da quella che ho seguito io […]”

Lobacevskij pubblicò nel 1829 delle memorie in cui mostrava i risultati riguardanti la nuova geometria. A questo successero numerosi scritti in cui il matematico non si limitò ad affrontare la questione delle parallele, ma rivolse i suoi sforzi alla rifondazione globale della geometria.
Nei suoi lavori assume come concetti primitivi della sua geometria quelli di ”corpo”, di ”contatto tra corpi” e di ”movimento rigido”, ricavando le proposizioni primitive della teoria da osservazioni di carattere sperimentale sul comportamento dei corpi fisici. Solo in un secondo momento introduce i concetti di retta e di piano e dimostra per essi le proprietà geometriche che si possono ricavare senza l’uso del V postulato euclideo. In questo modo sviluppa quella che sarà chiamata la geometria assoluta, ottenendo risultati interessanti, come ad esempio l’aver dimostrato l’assoluta indipendenza della geometria sferica dal V postulato e la dimostrazione dell’esistenza dei cinque poliedri regolari ottenuta senza ricorso a considerazioni sulle rette parallele. Successivamente, introduce una nuova nozione di rette parallele e procede nello sviluppo della geometria immaginaria. Gli argomenti più interessanti a cui si rivolge sono:

  1. esposizione organica della trigonometria non euclidea;
  2. introduzione e studio di nuove figure: l’oriciclo e l’orisfera
  3. la dimostrazione del fatto che sull’orisfera, sotto opportune ipotesi, vale la geometria euclidea
  4. la dimostrazione che in zone di spazio sufficientemente piccole, la geometria immaginaria coincide con la geometria euclidea
  5. l’osservazione che se, nelle formule della trigonometria non euclidea piana, sostiuiamo ai lati a, b e c di un triangolo i lati immaginari si ottengono le formule dell’ordinaria trigonometria sferica
  6. lo sviluppo di una geometria analitica corrispondente alla nuova geometria

Insieme Lobacevskij tra i fondatori delle geometrie non euclidee viene annoverato J’anos Bolyai. Bolyai si applicò nella direzione della geometria assoluta, giungendo alla importante formula dell’angolo di parallelismo.

Le opere di Lobacevskij e Bolyai non ebbero immediata risonanza nel mondo matematico del tempo.
Bisogna stare attenti a non cadere nell’errore di considerare la geometria iperbolica come l’unica alternativa, infatti un altro sistema ben distinto dai precedenti si può ottenere in corrispondenza dell’ipotesi dell’angolo ottuso.
La possibilità logica di questo nuovo sistema geometrico non deriva immediatamente dalle considerazioni precedenti; anzi, abbiamo visto che già Sacheri era riuscito a confutare correttamente l’ipotesi dell’angolo ottuso e che lésistenza di rette parallele è dimostrabile senza l’uso del V postulato. Comunque variando alcune ipotesi si riesce a costruire un sistema coerente che corrisponde all’ipotesi di Saccheri. La scoperta di questo nuovo sistema si può attribuire al matematico tedesco Riemann.
Le ricerche di Riemann proseguo gli studi che Gauss aveva intrapreso relativamente alla geometria delle superfici dello spazio euclideo, i quali avevano segnato l’inizio di una nuova branca della geometria, detta geometria differenziale. Ricordiamo che Gauss si prefisse lo studio di quelle proprietà geometriche delle superfici che si possono chiamare intrinseche, in quanto dipendono solo dal tipo di superficie considerato e non dallo spazio in cui sono immerse. Dimostrò che, data una superficie qualsiasi, purché sufficientemente regolare, è possibile introdurre su di essa un sistema di coordinate, mediante le quali si possono determinare le equazioni delle figure contenute sulla superficie stessa. Dimostrò inoltre che era possibile esterndere il concetto di retta a una qualsiasi superficie (concetto di geodetica).
Dopo la pubblicazione delle epistole di Gauss, l’interesse per questi nuovi argomenti cominciò ad estendersi. Nel 1866 Eugenio Beltrami presentò quello che fu definito il primo modello della geometria iperbolica. Egli considerò una superficie a curvatura costante negativa, deta pseudsfera. Questa si ottiene facendo ruotare nello spazio una curva detta trattrice.

Tale superficie ha curvatura costante negativa pari a -1/k^2. La sua geometria intrinseca coincide con la geometria iperbolica.

Nel 1867 Riemann pubblicò una dissertazione dal titolo Sulle ipotesi che stanno alla base della geometria in cui l’autore estende il concetto di curvatura allo spazio. Lo sviluppo delle idee di Riemann tende a determinare la struttura della spazio fisico. Supponiamo che i punti dello spazio siano individuati da tre coordinate Ammesso il principio di additività delle lunghezze, la distanza tra due punti su una linea sarà determinata quano si sappia valutare la distanza ds tra due suoi punti infinitamente vicini e Riemann fa l’ipotesi che $ds$ sia la radice quadrata in una forma di secondo grado omogenea dei dx_i:

Ammesso il principio della sovrapponibilità delle figure, con un opportuno mutamento del sistema di coordinate si riesce a mettere il ds^2 in una forma diversa, nella quale interviene una costante k, detta da Riemann curvatura dello spazio, che può essere positiva, nulla negativa. Se adesso ammettiamo che il principio di sovrapponibilità sia valido nell’intero spazio e che una retta sia determinata da due punti, si dimostra che solo tre situazioni sono compatibili con le ipotesi di partenza, cioè tre possibili geometrie: se k > 0 si ha la geometria ellittica, se k = 0 si ha la geometria euclidea ed infine, se k < 0 si ha la geometria iperbolica.
Con questo lavoro Riemann ha voluto distinguere la teoria generale delle grandezze a n dimensioni dalla teoria dello spazio tridimensionale, mostrando che questo è solo un caso particolare di quella.

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