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Geometrie non euclidee: L’opera di Legendre

Posted by hosiris su settembre 18, 2010

Tra le ricerche successive a quelle di Saccheri, meritano di essere ricordate quelle di J.H. Lambert. Questi basò i suoi studi su una figura lievemente diversa da quella di Saccheri: il quadrilatero trirettangolo isoscele, che presenta tre angoli retti e due coppie di lati uguali. Pose le tre ipotesi per il quarto angolo e confutò l’ipotesi dell’angolo ottuso e tentò di confutare quella dell’angolo acuto ma, a differenza di Saccheri, fu perfettamente consapevole della debolezza delle sue argomentazioni. Comunque l’importanza del suo lavoro risiede nella dimostrazione del fatto che, nell’ipotesi dell’angolo acuto, esiste una unità di misura naturale per i segmenti. E’ noto che la scelta dell’unità di misura per i segmenti è arbitraria in geometria euclidea, mentre per gli angoli è possibile fissare una unità di misura. Lambert mostrò che si possono stabilire dei legami tra i segmenti e gli angoli in modo che risulta possibile trasferire la misura naturale degli angoli anche ai segmenti.
Questo stesso risultato fu raggiunto da A. Legendre. Nel suo lavoro non presentò novità riguardo gli studi sul V postulato, ma presentò una serie di proposizioni, dimostrate, indipendenti dal V postulato.
Proposizione I
La somma degli angoli di un triangolo è sempre minore o uguale a due retti
Proposizione II
Se la somma S degli angoli di un solo triangolo è uguale a due retti, è due retti la somma degli angoli di un qualunque trinagolo
Proposizione III
Se $S = 2R$ in ogni triangolo, allora vale il V postulato

Nel 1823 Legendre pensò di aver dimostrato il V postulato attraverso i seguenti ragionamenti:
Definizione: Si dice difetto angolare di un triangolo ABC di angoli a, b e c, l’angolo d = 2R – (a + b + c).
Per la proposizione I si ha d > 0. Se si dimostra che per un solo triangolo d = 0, dalle proposizioni II e III segue il V postulato.
Definizione: Se il triangolo ABC di difetto d è suddiviso in due triangoli mediante una trasversale, la somma dei difetti d_1 e d_2 dei due triangoli ottenuti è uguale a d.
Questa proprietà si può facilmente generalizzare: se un triangolo è suddiviso in più triangoli, il suo difetto angolare è uguale alla somma dei difetti angolari dei triangolari in cui è suddiviso.
Supponiamo di avere un triangolo ABC con d > 0. Sia BCD il triangolo simmetrico di ABC rispetto a BC. Dal vertice D tracciamo una retta r che incontri in E ed in F i prolungamenti dei lati AB e AC rispettivamente.

Il triangolo AEF ha difetto d_1 uguale alla somma dei difetti dei triangoli in cui è suddiviso. Quindi d_1 < 2d.
Analogamente consideriamo il triangolo EFG simmetrico di AEF rispetto EF e tracciamo per il suo vertice G una retta s che incontri i prolungamenti di AB e AC in H e K. Il triangolo AHK ha difetto angolare d_2 tale che d_2 < 2d_1 < 4d. Proseguendo in questo senso, dopo n passaggi avremo un triangolo con difetto angolare d_n < 2^n d. Ma allora, per n sufficientemente grande, per il postulato di Archimede, si ricava che d_n 0, quindi d = 0 e vale il V postulato.
Nonostante sembri tutto lecito, anche questa dimostrazione presenta un difetto di forma. Precisamente, l’assunzione che per un punto interno ad un triangolo è sempre possibile tracciare una retta che intersechi i due lati dell’angolo.
Poiché dal V postulato si dimostra la precedente proposizione, si ha l’equivalenza tra le proposizioni.
Tutti i successivi tentativi di dimostrazione non hanno fatto altro che produrre una serie di proposizioni equivalenti. Ma si sono gettate le basi per nuove teorie. Dovrà passare quasi un secolo perchè si accettasse che oltre alla geometria euclidea ne esistessero altre.

PS: devo trovare un modo per rendere più leggibili le formule, comunque sto producendo un PDF in cui i formalismi sono migliori

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