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Geometrie non euclidee: Il lavoro di Saccheri

Posted by hosiris su settembre 13, 2010

Nel corso della storia i tentativi di dimostrare il V postulato furono molteplici, ma solo con Girolamo Saccheri si raggiunge un punto di svolta. Tra i lavori del gesuita, ricordiamo l’introduzione di un nuovo tipo di dimostrazione, detta “conseguentia mirabilis”, in cui se si riesce a dimostrare che dalla negazione di A segue A, allora vale A. Questa idea risulta interessante perchè per la prima volta si adombra la tesi secondo cui la verità matematica coincide con la non contraddittorietà.
L’opera in cui Saccheri tenta di dimostrare il V postulato è intitolata Euclides ad omni naevo vindicatus, sive conatus geometricus quo stabiliuntur prima ipsa universae geometriae principia. Il quinto postulato è trattato nel primo libro, Saccheri parte dalla considerazione di un quadrilatero birettangolo isoscele:

Nella prima parte dell’opera vengono dimostrate alcune proprietà:

  1. Gli angoli in C e D sono uguali
  2. La congiungente i punti medi M e N di AB e CD è perpendicolare a entrambi
  3. Il lato CD è maggiore, uguale o minore di AB, a seconda che gli angoli in C e D siano acuti, retti od ottusi
  4. Se CD è maggiore, uguale o minore di AB, gli angoli in C e D sono rispettivamente acuti, retti o ottusi
  5. In un quadrilatero trirettangolo se il quarto angolo è acuto, si ha che CD > AB e CA > DB, se è retto CD = AB e CA = DB, infine se è ottuso CD < AB e CA < DB.
  6. Se in un quadrilatero birettangolo isoscele gli angoli in C e D sono acuti, retti o ottusi, lo stesso avviene in ogni altro quadrilatero birettangolo isoscele
  7. La somma degli angoli di un triangolo è maggiore, uguale o minore di due retti a seconda che valga rispettivamente l’ipotesi di un angolo ottuso, dell’angolo retto o dell’angolo acuto
  8. Se in un solo triangolo la somma degli angoli è maggiore, uguale o minore di due retti, lo stesso avviene in ogni triangolo
  9. Se in un triangolo rettangolo ABC, M è il punto medio dell’ipotenusa AC e H è il piede della perpendicolare abbassata da M su AB, allora AH risulta minore, uguale o maggiore di HB a seconda che valga l’ipotesi dell’angolo ottuso, retto o acuto.
  10. Date due rette incidenti, considerando su una di esser dei segmenti consecutivi uguali, le loro proiezioni sull’altra retta risultano crescenti, costanti o decrescenti a seconda che valga l’ipotesi dell’angolo ottuso, retto o acuto
  11. Nell’ipotesi dell’angolo ottuso e dell’angolo retto una perpendicolare e un’obliqua a una retta si incontrano

A seguito di quest’ultima proprietà vediamo che il postulato dell’obliqua è valido, quindi Saccheri può affermare:
Proposizione XIV
L’ipotesi dell’angolo ottuso è completamente falsa perchè distrugge se stessa
Infatti, nell’ipotesi dell’angolo ottuso vale il postulato dell’obliqua e, quindi, anche il V postulato che è ad esso equivalente, ma questo implica che la somma degli angoli interni di ogni triangolo sia due retti, mentre, per la stessa ipotesi dovrebbe essere maggiore di due retti.
Successivamente Saccheri procede nel tentativo di ricavare una contraddizione dall’ipotesi dell’angolo acuto, ma il compito risulta più arduo di quanto si aspettasse.
A seguito di un lungo lavoro, Saccheri riesce ad enunciare:
Proposizione XXXVIII
L’ipotesi dell’angolo acuto è assolutamente falsa, perchè distrugge se stessa
In realtà questo secondo enunciato risulta viziato da un errore, in quanto non è lecito estrapolare proprietà valide a livello infinitesimale nel mondo finito. Quindi di fatto l’enunciato non risulta valido.
L’importanza dell’opera di Saccheri non risiede però nel suo tentativo di voler dimostrare la veridicità del V postulato, bensì nel fatto che durante il suo lavoro ha dimostrato vari teoremi che hanno avuto eco negli anni successivi. I più interessanti risultano essere proprio quelli relativi all’ipotesi dell’angolo acuto, che risultano essere veri e proprio teoremi di geometria non euclidea. Quindi proprio nel tentativi di valorizzarla, Saccheri pose le basi per quella che sarà chiamata “geometria iperbolica“.

2 Risposte to “Geometrie non euclidee: Il lavoro di Saccheri”

  1. Anonimo said

    Se il disegno del triangolo(triangolosacc.jpg) si riferisce alla proprietà 9 il disegno è sbagliato perché AC dovrebbe essere l’ipotenusa quindi l’angolo ABC dovrebbe essere retto ed in più il punto H si dovrebbe trovare su AB.
    Forse è sbagliata la mia interpretazione cioè il disegno del triangolo non si riferisce alla proprietà 9 ma in questo caso non ho capito a cosa si riferisce.

    • hosiris said

      Dipende da che ipotesi stai applicando, il disegno è del tutto generico proprio per non influire sulle definizioni che si danno. Comunque nella geometria euclidea quello che dici è validissimo e l’angolo retto sarebbe quello in B, quindi AC è l’ipotenusa.

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