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Geometrie non euclidee: il caso del V postulato

Posted by hosiris su settembre 10, 2010

Nello scorso post ho introdotto l’opera di Euclide, soffermandomi sui postulati da lui esposti che servivano a costruire una solida base di evidenze.
Il fatto che il V postulato perdesse questo carattere di “evidenza” pone dei dubbi sula validità di tutti i teoremi che da esso derivano.
Supponiamo di avere due rette r ed s, tagliate dalla trasversale t, e supponiamo che la somma degli angoli che le rette formano con questa trasversale siano minori di due retti. Risulta evidente che le rette r ed s si incontrano in un punto P:

Supponiamo ora di ruotare la retta s attorno al punto B. E’ evidente che il punto P si allontanerà dal punto A fin quando non scomparirà dalla “zona osservabile”. Secondo il postulato, quando la somma degli angoli sarà pari a due retti allora le rette saranno parallele, ma quando è avvenuto il distacco tra le due rette? Sia r che s sono infinite…
Il diverso grado di evidenza del V postulato può essere rilevato in maniera più convincente se si fa riferimento ad un’altra sua formulazione: dati, in un piano, una retta ed un punto fuori di essa, esiste, nel piano, al più una retta passante per il punto e parallela alla retta data.
E’ facile capire che questo risulta falso in un universo di dimensioni finite:

Come è possibile osservare dall’immagine data una retta r ed un punto P esterno ad essa limitati nella zona interna di un cerchio, risulta immediato che per P passano molte rette che non intersecano r.
Aumentando il raggio del cerchio, sicuramente il numero di rette intersecanti r diminuirà, ma chi ci assicura che questa situazione cessi di sussistere in un piano illimitato?
Queste due argomentazioni hanno lo scopo di far vedere come è lecito l’insorgere di dubbi riguardanti l’evidenza del postulato. Nonostante tutto, però, non è possibile dimostrarne la sua inesattezza.
Nel secondo esempio abbiamo fatto uso di una formulazione “equivalente” del postulato. Senza scendere nello specifico del concetto di equivalenza, vale la pena mostrare che sia effettivamente vero (operazione che ci permetterà di capire le ipotesi fatte negli anni a venire).

Teorema di Unicità della parallela
Dati una retta e un punto esterno ad essa, per il punto passa al più una retta parallela alla retta data

Dimostriamo che dal V postulato segue l’unicità della parallela:
Data la figura seguente, siano r una retta e P un punto esterno ad essa. Sia PQ una trasversale qualsiasi e a l’angolo che essa forma con r. Delle rette passanti per P al più una può formare con PQ un angolo c tale che a + c = 2 retti. Tutte le altre, per il V postulato, incontreranno r, per cui per P passa al più una retta parallela ad r.

Dimostriamo che dall’unicità della parallela segue il V postulato:
Siano r ed s due rette che, tagliate dalla trasversale t, formino due angoli a e b tali che a + b < 2 retti. Sia PR la retta per P che forma con PQ un angolo c tale che a + c = 2 retti. PR risulta distante da s, poichè c > b, e risulta parallela a r per la proposizione 28. Dall’unicità della parallela segue che s non può essere parallela a r e che di consegnuenza incontra r come richiesto dal V postulato.
Da questa equivalenza segue che si può sostituire il V postulato con la proposizione che ne afferma l’unicità.

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