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Informatica e non solo

Geometrie non euclidee: ovvero come le parallele hanno cambiato la matematica

Posted by hosiris su settembre 2, 2010

C’è una frase famosissima che recita: “Chi sà fà, chi non sà parla e chi sa poco scrive”. Ahimè mi sono accorto di appartenere all’ultimo gruppo e ancor peggio che mi sto dirigendo verso il secondo gruppo! Un giorno preso dallo sconforto ho deciso che dovevo fare in modo di riprendere tutte quelle conoscenze che silenziosamente stavano abbandonando i luoghi in cui, con tanta difficoltà, li ho ben sistemati.
Ma da cosa iniziamo? E’ talmente tanto materiale che rischierei di essere pesante ed inutile. Allora perchè non rendervi partecipe dei miei stupori? Ed infatti, a partire da questo post scriverò di quegli argomenti che hanno stimolato la mia curiosità facendomi amare sempre di più il mondo scientifico.
Come è possibile leggere dal titolo comincerò a parlare delle geometrie non euclidee. Perchè questo argomento? Ero al liceo quando il professore di matematica ci introdusse l’argomento, immaginate lo stupore di un ragazzetto, che per 17 anni ha conosciuto solo determinati concetti, che gli sono da sempre stati imposti come veri, nello scoprire che un semplice dubbio è stato sufficiente a smuovere le masse.
Da quel giorno decisi che niente nella mia vita doveva essere scontato, anche il semplice doversi svegliare la mattina doveva avere un significato…
Ma cominciamo subito.

La geometria, rispetto al resto della matematica, ha sempre avuto un vantaggio: è possibile visualizzarla (certo, salendo di livello diventa più difficile, ma noi ci limiteremo al mondo “osservabile”).
Alle elementari ci hanno dato dei concetti di base: il punto, la retta, il piano, … noi annoiati abbiamo imparato a memoria formule su formule, senza capire niente e magari odiando quella materia.
Certo un ragazzetto non può capire l’enorme lavoro che sta dietro quelle formulette, ma un adulto si. Nello specifico parliamo del lavoro di un uomo: Euclide. Questo tizio si è preso l’onere di formalizzare tutte quelle teorie che facevano parte della geometria. Essì già esisteva, già gli antichi egizi facevano uso della geometria per tenere traccia delle dimensioni dei terreni dopo gli straripamenti del Nilo.
Nel suo enorme lavoro Euclide scrisse un’opera, Gli Elementi, composta da 13 libri in cui definì e dimostrò ogni concetto alla base della geometria che noi conosciamo. Nel corso del I libro, il più importante e corposo, definisce 23 termini, 5 postulati e 5 nozioni comuni. Esempio di termini sono il concetto di punto (ciò che non ha parte) o di retta (lunghezza senza larghezza). Tra i postulati troviamo quelle verità immediate, che non necessità di dimostrazione perchè davanti gli occhi di tutti:

  • Si ammette di poter condurre da qualsiasi punto ad ogni altro punto una linea retta
  • e che ogni retta terminata si possa prolungare continuamente per dritto
  • e che con ogni centro e con ogni distanza si possa descrivere un circolo
  • e che tutti gli angoli retti siano uguali tra di loro
  • e che se una retta, incontrandone altri due, forma angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette prolungate continuamente si incontrano dalla parte in cui sono gli angoli minori di due retti

L’intento di Euclide era di creare un solido fondamento a tutta la trattazione che sarebbe seguita.
Purtroppo tutta la solidità era minata da una piccolissima leggerezza di riflessione: l’infinito. Purtroppo a noi umani non è dato conoscere quello che c’è oltre il finito, quindi ciò che accade all’infinito manca di evidenza.
Lo stesso Euclide era consapevole di questo problema e a lungo cercò di superarlo, ma senza successo.
Percorreremo insieme un susseguirsi di avvenimenti che, diversamente da come potrebbe sembrare, non distrugge tutte le teorie, ma ne crea di parallele ognuno con un grado di certezza.
Vedremo come il “caso del V postulato” accese gli animi di molti matematici che nel tentativo di “renderlo evidente” si trovarono a dare le basi a concetti che avrebbero rivoluzionato fisica e matematica.

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